中国的测量术(下) (The Measurement in

发布于:2020-06-15 分类:新型环境   

中国的测量术(下) (The Measurement in China Ⅱ)

连结:中国的测量术(上)

摘要: 本文延续中国的测量术(上)继续介绍中国的测量术

接续着〈中国的测量术(上)〉,我们来谈谈『重差法』。什幺是『重差法』?简单地说,就是利用两个或两个以上的表当做测量基準的测量方法。

根据史家吴文俊对《周髀算经》赵君卿注中日高图的还原,以及利用出入相补原理重新诠释后,确信赵君卿已经掌握重差法:利用两个等高的表,分别量得该表的影长,从而得到影差,便能利用其计算日高及日远。而刘徽则在重差法的基础上,将它的应用加以推广。刘徽谈到重差法的用处:「凡望极高,测绝深而兼知其远者必用重差、勾股,则必以重差为率,故曰重差。」更以测日为例,如图一所示,给出两个基本公式:

中国的测量术(下) (The Measurement in

这两个公式与刘徽《海岛算经》中第一问望海岛的公式形式一致,因此公式的推导,笔者稍后再行说明。而刘徽在量天测日后,更将重差法推广到大地测量之上,写成《重差》一章,置于《九章算术》〈勾股章〉之后,并提出「度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。」等法则。唐朝初年,选定十部算经时,将之由《九章算术》中分出,另命为《海岛算经》。不过,宋刻本的《海岛算经》已经失佚,现有《海岛算经》的传本是戴震从《永乐大典》中辑录而得,是否与原书相同,已不可考。

《海岛算经》中共九个问题,由于刘徽的原图与注释均失,无法得知设题造术的缘由。根据当时的数学水平及《九章算术》所呈现的方法,笔者觉得利用「出入相补」的作法较无疑义。以下便利用「出入相补」原理,说明《海岛算经》第一问的题目与术文。

《海岛算经》第一问为测海岛问,此书因之得名。其题意如图二,其中 $$\overline{AB}$$、$$\overline{CD}$$ 为两表,$$\overline{PQ}$$ 为岛高,读者或许已经发现图一与图二完全相同,术文的公式当然也相同(只要替换对应的名称即可):

中国的测量术(下) (The Measurement in
其中表间为 $$\overline{BD}$$;相多为 $$\overline{DF}-\overline{BE}$$ (就是影差);前表却行为 $$\overline{BE}$$。

中国的测量术(下) (The Measurement in

以下是吴文俊先生利用「出入相补」原理所提出的証明,还原这个公式的推导:

中国的测量术(下) (The Measurement in

如图三,在长方形PGFQ中,长方形CHGK的面积 $$=$$ 长方形CDQR的面积,
在长方形PIEQ中,长方形AJIL的面积 $$=$$ 长方形ABQR的面积,然后两式相减,
长方形CHGK的面积 $$-$$ 长方形AJIL的面积 $$=$$ 长方形CDQR的面积 $$-$$ 长方形ABQR的面积

所以,

$$\begin{array}{crl}&\overline{PR}\times(\overline{CK}-\overline{AL})&=\overline{BD}\times\overline{AB}\\\Rightarrow& (\overline{PQ}-\overline{AB})\times(\overline{DF}-\overline{BE})&=\overline{BD}\times\overline{AB}\\\Rightarrow& \overline{PQ}&=\displaystyle\frac{\overline{BD}\times\overline{AB}}{(\overline{DF}-\overline{BE})}+\overline{AB}\end{array}$$

又长方形ABQR的面积 $$=$$ 长方形AJIL的面积,所以:

$$\overline{BQ}\times\overline{AB}=\overline{BE}\times\overline{PR}\Rightarrow\overline{BQ}\times\overline{AB}=\overline{BE}\times(\overline{PQ}-\overline{AB})$$

再将上述:$$\displaystyle\overline{PQ}=\frac{\overline{BD}\times\overline{AB}}{(\overline{DF}-\overline{BE})}+\overline{AB}$$ 代入,即可得 $$\displaystyle\overline{BQ}=\frac{\overline{BD}\times\overline{BE}}{\overline{DF}-\overline{BE}}$$

《海岛算经》以降,中国在测量技术与方法上达到完善与巅峰,这也可在魏晋时期地图绘製的技术与理论的建立上,可知『重差法』在当时是被广为运用的。后世的算书多有重差法题设的纪录,如南宋秦九韶的《数书九章》、南宋杨辉的《续古摘奇算法》,元朝李冶的《四元玉鉴》,明朝程大位的《算法统宗》等书。在题目列式的方法,均採用《海岛算经》的方法。到了明末清初,三角学的知识随着传教士进入中国,中算家才开始了解有关角的度量及相关内容。

由教学的角度来看勾股测量的方法,其实是个知识门槛较低的作法,学生只要了解相似形比例,就能轻易推求答案。更何况老师也能趁此机会让学生见识不用相似形理论推求出相似勾股形的比例关係。(一定会惊豔之感!) 在实际操作上,只要把握勾股形的建立,测量长度便完成测量,相当易于操作,可避免角度量测容易造成误差的弊病。另一方面,由外在文化环境对知识发展造成的影响来看,除了大家熟知希腊人对于「无限」的恐惧,导致对间接証法的使用的例子。这个勾股测量的例子,也可以提供我们另一个观照:在缺乏角(度)概念的限制下,中国人也建立起相当杰出的测量技术。

参考文献:


正文到此结束.