中国的测量术(上) (The Measurement in

发布于:2020-06-15 分类:产业访谈   

中国的测量术 (上) (The Measurement in China I)

摘要:本文介绍中国的测量术。

一谈起测量方法,大家脑中马上浮现「三角测量」─藉助三角函数的帮助,我们只要测量出某些长度及角度,就能处理那些我们无法实际量测的问题。这也是数学教师在三角函数的学习上,用来强化三角函数学习「正当性」的最佳理由。

事实上,每个文化在某些特殊条件的限制下,可能发展出不同于我们现有既存的概念或策略。比如说,中国古代缺乏一般角的概念,因此今日我们所熟知的三角学理论并没有在中国发展起来。不过,中国仍建立起非常发达、程度极高的测量技术。由于藉助直角三角形(勾股形)来处理,这样的方法称之为『勾股测量』。我们可由测量工具的使用来支持这样的看法,传统上的工具有两种:一是矩;另一是表。矩是弯曲成直角的曲尺;表是垂直的量杆,都是为了构造出勾股形而使用的。之后中算家在勾股测量的基础上,改进技术与方法,造出『重差法』。本文是对勾股测量一个初步的介绍。

测量技术的发展,离不开实际应用的需要,如天文的观测、建筑工程、土地丈量及地图的绘製等。因此,勾股测量在中国发展极早。以中算史上重要的典籍《九章算术》来说,卷九〈勾股章〉谈的便是与勾股形相关的问题。全章共 24 个问题,其中第 16~23 个问题便是测望问题。试举其中第19 问:

第 19 问 今有邑方不知大小,各中开门。出北门二十步有木,出南门一十四步,折而西行一千七百七十五步见木,问邑方几何?

第 19 问的题意如图一,为便于表示,笔者用现在的数学符号辅以说明刘徽的注解。

首先是运用「率」的观念:

设邑方 $$\overline{DE}=x$$,则 $$\overline{AC}$$ 为股,$$\overline{BC}$$ 为勾,$$\overline{BD}$$ 为勾率,$$\overline{FD}=\displaystyle\frac{1}{2} x$$ 为股率。

则 $$\begin{array}{ll}\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{FD}:\overline{BD}&\Rightarrow 1775:(20+x+14)=\displaystyle\frac{1}{2}x:20\\&\Rightarrow x^2+34x=71000\end{array}$$

中国的测量术(上) (The Measurement in

由上可知,主要的关键在于这个关係式 $$\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{FD}:\overline{BD}$$。这个关係的成立,眼明的读者或许会猜测:它是奠基在直角三角形△ABC与直角三角形△FBD的相似。然而,笔者在此必须强调:当时的中算家是没有一般角度的概念,也没有平行线性质的探讨,因此,也没有相似形的理论的建立。那幺刘徽是如何找到这个关係式呢?可惜的是,刘徽的最初想法已经佚失,无从进一步的了解。所幸数学史家们在南宋杨辉所着的《续古摘奇算法》卷下,看见刘徽可能想法的最完整之还原:

中国的测量术(上) (The Measurement in

由图二,可以清楚地看到长方形ABCD由对角线平分成两个直角三角形。

由于正方形AGEH及正方形EICF也被平分成两个直角三角形。

所以长方形 HEFD 面积
$$=\Delta{ACD}-\Delta{AEH}-\Delta{ECF}$$
$$=\Delta{ACB}-\Delta{AEG}-\Delta{ECI}$$
$$=$$ 长方形 GBIE 面积

$$a_1b_2=a_2b_1\Rightarrow a_1:b_1=a_2:b_2$$

这个「勾中容横,其一股中容直,二积二数皆同。」的性质在中算的勾股问题中,有着重要的作用。笔者认为这个利用面积关係来寻求两个勾股形比例关係,是一个很有趣并且值得在课堂演示的作法。除了让学生体会到即使省略相似形理论,比例关係仍可作出的巧思外;也让学生了解在不同的文化脉络下,知识的成长是可能拥有不同的风貌。

此外,由上述问题的解法来看,常见的测量问题,不全然需使用三角测量的作法,只要构造出适当的直角三角形,测量长度,就可以间接量出我们要的目标,省却角度的度量,反倒是可以提高测量的準确性。除了上述与生活有关的测量问题外,在天文观测上,古代曆算家也是利用勾股测量的方法来测量太阳的高度及太阳的大小。更进一步地,改良勾股测量的方法,这就是接下来笔者所要谈的『重差法』。不过,限于篇幅,就请读者下回分晓啰!

连结:中国的测量术(下)

参考文献:


正文到此结束.